Visualisierung harmonischer Prozesse mithilfe des Circular Pitch-Class Space am Beispiel der Tristan-Sequenz

Im Rahmen der Neo-Riemannian Theory gewinnt die Visualisierung von Harmonik für deren analytisches Verständnis zunehmend an Bedeutung.[1] Vor allem die Figur des Kreises taucht zur Veranschaulichung harmonischer Prozesse immer wieder auf.[2] In seinem Buch A Geometry of Music stellt Dmitri Tymoczko Harmonien mithilfe des circular pitch-class space dar, d. h. als Gruppen von Tonklassen (pitch-class sets) innerhalb eines Oktavraums.[3] Dieses Modell besitzt unseres Erachtens ein hohes, bisher noch nicht vollständig ausgeschöpftes Potenzial zur Visualisierung harmonischer Prozesse. Es basiert auf einer Kreisform, auf deren Kreislinie die zwölf Tonklassen des chromatischen Tonsystems wie die Zahlen einer Uhr angeordnet sind. Die zugehörigen Tonklassen eines Akkords werden in dieser Darstellung durch Punkte markiert. Der Dreiklang C-Dur wird beispielsweise wie in Abbildung 1 dargestellt:

Abbildung 1: C-Dur-Dreiklang, dargestellt im circular pitch-class space[4]

Richard Cohn verwendet in Audacious Euphony ebenfalls diese Darstellungsweise, verbindet die Akkordtöne jedoch zusätzlich mithilfe von Linien untereinander. Die Länge einer daraus resultierenden Kreissehne bildet ein virtuelles Intervall ab, welches zwischen den Tonklassen innerhalb desselben Oktavraums besteht (Abb. 2). Durch diese Kreissehnen entsteht eine geometrische Figur innerhalb des Kreises, welche nicht nur die Intervallstruktur eines Akkords ›ins Bild setzt‹, sondern auch eine schnelle Identifikation von Symmetrien ermöglicht (so weist beispielsweise ein gleichseitiges Dreieck auf die gleichen Intervalle zwischen den Tonklassen eines übermäßigen Dreiklangs hin).[5] Die Intervallstruktur stellt sich bei allen Akkorden eines Typs, beispielsweise des Dur-Dreiklangs, gleich dar und rotiert bei Transposition nur innerhalb des Kreises bei ansonsten gleichbleibender Gestalt.

Abbildung 2: a. übermäßiger Dreiklang über c; b. C-Dur-Dreiklang[6]

Wie jede Form der Visualisierung freilich Implikationen enthält und mithin Auskunft darüber gibt, wie ein Konzept in einer zugrunde liegenden Theorie gedacht wird, fällt hier zunächst auf, dass die Visualisierung des circular pitch-class space mit einem System arbeitet, in dem alle zwölf Tonklassen gleichwertig dargestellt werden und enharmonisch äquivalent sind. Demzufolge werden Intervalle, die den gleichen Abstand zwischen zwei Tonklassen aufweisen, identisch dargestellt (z. B. übermäßige Sekunde und kleine Terz). Eine Zugehörigkeit von Tonklassen zu einer bestimmten Tonalität oder deren unterschiedliche Funktionen innerhalb einer solchen werden – anders etwa als in der traditionellen Funktionstheorie – nicht abgebildet. Weiterhin ist durch die Reduktion der Harmonie auf ihre Tonklassen nicht mehr ersichtlich, ob ein Akkord in Grundstellung oder einer Umkehrung erklingt. Überhaupt entfällt jede Hierarchisierung der am Akkord beteiligten Töne aufgrund ihrer Lage oder Funktion, da die Visualisierung die Identifikation eines Basstons oder gar Grundtons schlechthin verwehrt. In der Darstellung sind also alle beteiligten Tonklassen von gleicher Wertigkeit: Sie sind gleichermaßen an der virtuellen Intervallstruktur beteiligt, die dem Akkord zugrunde liegt.

Tymoczko und Cohn nutzen diese Kreisdarstellung unter anderem, um Fortschreitungen von Akkorden mithilfe einer virtuellen Stimmführung abzubilden. Die einzelnen Tonklassen eines Akkords werden dabei wie Stimmen eines Satzes behandelt, welche sich von einem Akkord zum nächsten in kleinstmöglichen Intervallabständen verschieben.[7] Es handelt sich hierbei um eine Abstraktion, da nur von den Tonklassen, dargestellt im Oktavraum, und nicht den tatsächlichen Tonhöhen im Notentext ausgegangen wird. So entsteht eine virtuelle Stimmführung, durch welche die Beziehung zweier Akkorde zueinander anhand ihrer Tonklassen beschreibbar wird (Abb. 3).[8] Die durch die Darstellung suggerierte Stimmbewegung von einer Tonklasse zu einer anderen muss damit weder einer tatsächlichen Stimme noch einer tatsächlichen Bewegung ebendieser in der realen Stimmführung entsprechen (wenngleich beides natürlich vorliegen kann).

Abbildung 3: Progression vom C-Dur- zum e-Moll-Dreiklang[9]

Hierin lässt sich ein Paradigmenwechsel im Verständnis von Harmonik erkennen: Akkordprogressionen werden nicht als Fortschreitungen der Grundtöne von Funktionen oder Stufen aufgefasst. Stattdessen rückt die Intervallstruktur zwischen den Tonklassen eines Akkords im Verhältnis zu anderen ins Zentrum der Aufmerksamkeit. Das Konzept von Harmonik weist insofern Parallelen zum Kontrapunkt auf, als harmonische Prozesse als Resultat virtueller Stimmführungsprozesse verstanden werden.

Während Tymoczko und Cohn diese Visualisierungsform in erster Linie verwenden, um strukturelle Symmetrien innerhalb eines Akkords sichtbar zu machen und anhand von strukturellen Ähnlichkeiten harmonische Verwandtschaftsverhältnisse zu begründen,[10] glauben wir, dass sie selbst methodisches Potenzial birgt: Sie gestattet eine neue Perspektive auf harmonisches Geschehen und ermöglicht es, Akkordfortschreitungen vorrangig als die Beziehung zwischen verschiedenen Intervallstrukturen der beteiligten Tonklassen zu verstehen. Daher verwenden wir diese Visualisierung insofern konsequent für die Analyse, als wir – ähnlich wie im Fall einer Akkordsymbolschrift – alle Akkorde der betrachteten harmonischen Passage symbolisch, nämlich als Kreise darstellen. Für einen solchen methodischen Ansatz erachten wir ein paar Modifikationen dieser Visualisierung für sinnvoll. Im Unterschied zu Cohn verbinden wir die Tonklassen durch Linien nicht direkt untereinander, sondern mit dem Kreismittelpunkt, sodass sie wie die Zeiger einer Uhr erscheinen. Auf diese Weise wird die Kreisfläche, die dem Raum einer Oktave entspricht, in einzelne Kreissegmente aufgeteilt, welche analog zu den Kreissehnen bei Cohn die Intervalle zwischen den Tonklassen abbilden. Dadurch erhält jeder Akkordtyp ebenfalls eine spezifische visuelle Gestalt. Der übermäßige Dreiklang entspricht beispielsweise einer Teilung des Kreises in drei gleiche Segmente, der verminderte Septakkord in vier usw. Dies ermöglicht die schnelle Identifikation von symmetrischen Strukturen; Transpositionen von Akkorden sind weiterhin als Rotationen der Gestalt innerhalb des Kreises sichtbar. Die jeweilige Größe der virtuellen Intervalle wird durch die flächenhafte Darstellung etwas deutlicher (Abb. 4).

Abbildung 4: Visualisierung verschiedener Dreiklangsstrukturen; a. Dur-Dreiklang, b. übermäßiger Dreiklang, c. und d. vollverminderte Septakkorde

Außerdem verwenden wir in unserer Darstellung zwei Farben zur Unterscheidung der zwei Ganztonreihen im Tonklassensystem (Blau: c, d, e, fis, gis und ais; Rot: des, es, f, g, a und h). Dies soll einer besseren Orientierung über die Abstände der Tonklassen in der Kreisform dienen. Bei Fortschreitungen lässt sich so schneller erkennen, ob eine Tonklasse etwa einen Ganztonschritt (der Nachbarton hat die gleiche Farbe) oder einen Halbtonschritt (der Nachbarton hat die jeweils andere Farbe) von einer benachbarten entfernt liegt. Ferner kann auch die Größe der Intervalle zwischen den Tonklassen mithilfe dieser Klassifizierung schneller erfasst werden: Haben zwei Tonklassen dieselbe Farbe, ist das Intervall zwischen ihnen ganztonbasiert (d. h. große Sekunde, große Terz oder Tritonus). Unterscheidet sich die Farbe zweier benachbarter Tonklassen, handelt es sich um ein Intervall, das einen Halbtonschritt enthalten muss (d. h. kleine Sekunde, kleine Terz oder Quarte). Darüber hinaus werden Kreissegmente, die einer Sekunde oder einer Quarte entsprechen, mit einer grauen Schraffur versehen, während die Flächen, die Terzen repräsentieren, weiß bleiben. Wir erachten dies als hilfreich, da die Struktur der meisten Akkorde auf dem Terzschichtungsprinzip beruht und daher die grau schraffierte Sekunde oder Quarte anzeigt, an welcher Stelle mit dieser Struktur gebrochen wird, sodass eine schnellere Orientierung innerhalb eines dargestellten Akkords ermöglicht wird (Abb. 5). Wir verzichten bewusst auf die Beschriftung des Kreises mit Tonnamen. Entscheidend ist nicht, welche spezifischen Tonklassen der Akkord enthält, sondern welche Intervallstruktur er besitzt und wie sich diese in der Fortschreitung zum nächsten Akkord wandelt.

Abbildung 5: a. C-Dur-Dreiklang – Graufärbung der Quarte; b. kleiner C-Dur-Septakkord – Graufärbung der Sekunde

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Welche Potenziale und Grenzen diese Visualisierungsmethode mit sich führt, soll im Folgenden anhand der ersten Takte der Einleitung zu Richard Wagners Tristan und Isolde gezeigt werden (Bsp. 1).[11]

Beispiel 1: Richard Wagner, Einleitung zu Tristan und Isolde, erste harmonische Progression (T. 1–3)

Die Sektoren des ersten Kreises bilden die Intervallstruktur zwischen den Tonklassen des berühmten ›Tristan-Akkords‹ ab, die der eines halbverminderten Septakkords entspricht, ohne einen der Töne zu priorisieren oder die Intervalle in einer Reihenfolge ordnen zu wollen. Es erfolgt also keine Deutung des Akkords hinsichtlich eines Grundtons.[12] Wie in der Abbildung zu sehen ist, entsteht die Intervallstruktur des zweiten Kreises durch die Veränderung einer einzigen Tonklasse. Der zweite Kreis weist eine symmetrische Intervallstruktur auf (d. h. es lässt sich durch die Visualisierung eine Spiegelachse ziehen), welche der eines French sixth chord-Typus[13] entspricht. Im dritten Kreis ist zu erkennen, dass der folgende Akkord die identische Struktur aufweist, da auch hier die Kreissektoren zwei gegenüberliegende große Sekunden und zwei gegenüberliegende große Terzen abbilden. Die Gestalt wurde lediglich als Ganzes um einen kleinen Winkel rotiert, der einem Halbton entspricht (vgl. die unterschiedlichen Farben). Wir möchten erneut betonen, dass es sich hierbei nicht um die tatsächliche Stimmführung handelt, sondern um das Verhältnis der pitch-class sets zueinander, aus welchen sich die jeweiligen Akkorde konstituieren.[14] Bei der Fortschreitung vom dritten zum letzten Kreis wird abermals eine Tonklasse durch eine im Halbtonabstand benachbarte ersetzt, wodurch die Symmetrie der Intervallstruktur eines French sixth chord zugunsten eines Dominantseptakkords verloren geht. Bereits Heinrich Poos machte auf die Symmetrien aufmerksam, die dieser Passage zugrunde liegen, indem er sie als »ein mit Spiegeln versehenes Ideengitter«[15] bezeichnete (Bsp. 2).

Beispiel 2: Richard Wagner, Einleitung zu Tristan und Isolde, Spiegelungen innerhalb der ersten vier Akkorde[16]

Sowohl der Dominantsept- als auch der halbverminderte Septakkord unterscheiden sich hinsichtlich der Intervallstruktur von einem French sixth chord nur um einen Halbtonschritt,[17] jedoch stehen sie sich strukturell diametral gegenüber: Basiert der Dominantseptakkord auf einem Dur-Akkord, über dessen höchstem Ton, der Quinte, noch eine kleine Terz hinzugefügt wird, so entsteht der halbverminderte Septakkord, indem man dem Grundton eines Molldreiklangs eine kleine Unterterz hinzufügt (Bsp. 2, links).[18] Dieser umgekehrte Aufbau in der Intervallstruktur wird in der Kreisabbildung durch die Anordnung der Segmente deutlich: Beide Kreisfiguren enthalten zwei kleine Terzen nebeneinander, die große Terz und die große Sekunde sind jedoch hinsichtlich ihrer Position in der Gestalt vertauscht. Darüber hinaus unterteilt Poos die Akkordfolge mithilfe einer Spiegelachse zwischen den beiden French sixth chords (Bsp. 2, rechts), wodurch sich zwei Akkordpaare ergeben.[19] Das erste Akkord-Paar wird durch die Klangcharakteristik des halbverminderten Septakkords bestimmt, während im zweiten die Klangcharakteristik des Dominantseptakkords vorherrscht. Die Intervallstruktur des French sixth chord dient sozusagen als tongeschlechtsneutraler Übergang zwischen Anfangs- und Schlussakkord dieser Passage, wobei die Beziehung zwischen den verschiedenen pitch-class sets der beiden Akkord-Paare identisch ist: Während eine Tonklasse durch eine um einen Halbtonschritt benachbarte ersetzt wird, werden alle anderen Tonklassen beibehalten. Durch die Visualisierung werden die verschiedenen in dieser Passage wirksamen Symmetrieverhältnisse in geometrischer Anschaulichkeit wie folgt ›ins Bild‹ gesetzt (Abb. 6):

– die Spiegelung innerhalb einer Akkordstruktur (der French sixth chord als ›symmetrischer Akkord‹),

– die Spiegelung innerhalb der gesamten Akkordfolge (der chiastische Aufbau),

– das Spiegelungsverhältnis zwischen zwei Akkorden hinsichtlich ihrer Intervallstruktur (›umgekehrter‹ Aufbau der Intervallstruktur des halbverminderten Septakkords im Vergleich zum Dominantseptakkord).

Abbildung 6: Richard Wagner, Einleitung zu Tristan und Isolde, Spiegelungen und Symmetrien innerhalb und zwischen den ersten vier Akkorden. Der obere rechte Kreis entsteht durch die Rotation des vierten Kreises um 30° (entspricht der Größe eines Halbtons).

Die harmonischen Ereignisse dieser Passage lassen sich mithilfe der Kreisabbildungen als das Resultat virtueller chromatischer Stimmführungsereignisse deuten. Entscheidend ist dabei nicht, wie die Töne im Sinne einer Funktionstheorie zu hierarchisieren sind, sondern wie sich die strukturellen Beziehungen zwischen den Tonklassen, die den Akkorden jeweils zugrunde liegen, zueinander verhalten. Bei einer Ausweitung der Analyse auf die ersten elf Takte der Einleitung offenbart die Visualisierung mehrere Parallelen zur ersten harmonischen Progression (Bsp. 3). Dass es sich etwa in den Takten 6 und 7 um eine reale Sequenz der gesamten Takte 2 und 3 um eine kleine Terz aufwärts handelt, ist durch die Rotation der ersten Zeile um 90° in der zweiten Zeile bei ansonsten gleichbleibender Gestalt zu erkennen. Die dritte Zeile (T. 10 und 11) lässt sich als Fortsetzung des Sequenzvorgangs verstehen, weist aber nicht nur Ähnlichkeiten, sondern auch einige substanzielle Abweichungen zu den vorangegangenen Abschnitten auf.

Beispiel 3: Richard Wagner, Einleitung zu Tristan und Isolde, T. 1–11 mit Visualisierung der Akkordstrukturen

Zunächst ist zu sehen, dass der erste Akkord hinsichtlich seiner Intervallstruktur mit dem ›Tristan-Akkord‹ und seiner Transposition in der zweiten Zeile identisch ist, jedoch eine andere Rotation aufweist. Der erste Akkord ist gegenüber Takt 6 nun nicht nur um weitere 90°, sondern um 180° rotiert, was dem Intervall eines Tritonus entspricht. Jedoch zeigt sich bei der Fortschreitung vom ersten zum zweiten Kreis zugleich eine erneute Sequenzierung um eine kleine Terz (90°) aufwärts, und zwar in derjenigen Tonklasse, die auch hier durch ihren Nachbarn im Halbtonabstand abgelöst wird. Während also das Prinzip der Kleinterzsequenz in dieser speziellen Beziehung zweier Tonklassen fortgeführt wird, bricht die harmonische Konstellation mit diesem Sequenzintervall. Die Intervallstruktur eines halbverminderten Septakkords als Ausgangspunkt der Progression bleibt gewahrt,[20] doch befindet sich die charakteristische Beziehung zweier Tonklassen im Halbtonabstand innerhalb der Akkordstruktur an anderer Position als bisher. Hieraus resultiert im zweiten Akkord der Passage nicht mehr die Intervallstruktur eines French sixth chord, sondern die eines Mollseptakkords. Dieser ist in seiner Intervallstruktur ebenfalls symmetrisch angelegt, besitzt allerdings eine völlig andere Klangfarbe, die aus der fehlenden zweiten Sekundreibung resultiert. Mit der Ersetzung der beiden benachbarten Tonklassen durch die dazwischenliegende wird die Intervallstruktur des Mollseptakkords in einen übermäßigen Dreiklang überführt, dessen Intervallstruktur abermals symmetrisch ist. Aus diesem entfaltet sich dann (T. 11) die charakteristische Intervallstruktur des French sixth chord,[21] womit letztlich der Akkord erreicht ist, welcher auch in den beiden vorangegangenen Sequenzgliedern an vorletzter Stelle steht und in gleicher Weise in einen Dominantseptakkord führt. So bilden die beiden Schlussakkorde nun wieder eine reale Sequenz der vorangegangenen Schlussakkorde in den Zeilen 1 und 2 ab, die allerdings im Abstand einer großen Terz vollzogen wird. Erneut finden sich also zu Beginn und am Ende eines Abschnitts die Intervallstrukturen des halbverminderten Septakkords und des Dominantseptakkords, und erneut zeichnet sich der Übergang durch Akkorde aus, deren Intervallstruktur interne Symmetrie aufweist. Allerdings wird der Übergang in der dritten Zeile mit einem Mollseptakkord eingeleitet, der in den übermäßigen Dreiklang führt und erst in einem dritten Akkord die Intervallstruktur des French sixth chord als letztes Übergangsglied erreicht. In dieser harmonischen Variation vollzieht sich die Modifikation des Sequenzintervalls zu einer großen Terz. So wird mit den Schlussakkorden eine Quintsequenz der ersten harmonischen Progression erreicht.[22]

Die zweite Sequenzierung der Eingangstakte stellte für viele Forscher ein enigmatisches Gebilde dar. Der mit ihr verknüpfte ›dritte Tristan-Akkord‹ ist etwa laut Karsten »harmonisch überhaupt nicht selbständig deutbar«.[23] Poos sieht in ihm das Resultat motivischer und formkonstituierender Prozesse und bezeichnet ihn als Vorboten der »freie[n] Tonalität«, einen »aus dem kadenzharmonischen Zusammenhang emanzipierte[n] monistisch-motivische[n] Akkord«.[24] Ünlü wiederum deutet ihn als einen bivalenten Akkord, der einerseits »noch Teil des 2. Sequenzglieds mit dem Tonzentrum C-Dur« ist und andererseits bereits »an der Schwelle zum dominantischen E-Dur«[25] des dritten Sequenzglieds steht. Die Kreisdarstellungen wiederum exponieren – frei von jedweder Grundton- oder Tonzentrumsbestimmung sowie motivisch-/formanalytischer Tradition – zum einen die mit den anderen Eingangsakkorden identische Intervallstruktur zwischen seinen Tonklassen durch die geometrischen Formationen und zum anderen das Sequenzintervall der kleinen Terz durch das identische Bewegungsmuster zwischen den Tonklassen vom ersten zum nächsten Akkord (drei der Tonklassen bleiben erhalten, eine wird durch ihren um einen Halbton höher liegenden Nachbarn ersetzt). Durch diese Visualisierungsmethode wird die Beziehung von Intervallstrukturen zwischen Tonklassen zum zentralen Parameter der Harmonieanalyse. Dadurch lassen sich Zusammenhänge zwischen verschiedenen Passagen erkennen, die im Verhältnis der durch die Tonklassen entstehenden Intervallstrukturen begründet sind. Sicherlich wäre es vermessen, zu glauben, damit die harmonische Rätselhaftigkeit des Tristan-Beginns aufzulösen, welche bereits unzählige analytische Auseinandersetzungen auf den Plan rief.[26] Vielmehr war es unser Anliegen, anhand eines Beispiels, welches wir bewusst aufgrund seiner Prominenz ausgewählt haben, epistemologische Potenziale dieser Visualisierungsform aufzuzeigen. Wie jede Form der Visualisierung stellt natürlich auch diese eine enorme Reduktion dar, indem sie musikalische Parameter ignoriert, welche durchaus einen Einfluss auf das Verständnis für die Harmonik besitzen (neben dem tonalen Zusammenhang etwa reale Stimmführungsphänomene, Registerfragen, Rhythmik, Instrumentation etc.). Dennoch glauben wir, dass diese Art der Visualisierung einen neuen Blickwinkel auf harmonisches Geschehen ermöglicht, da sie die Beziehungen zwischen den Intervallstrukturen von Akkorden jenseits der Einflüsse satztechnischer Traditionen und der Hierarchisierung von Akkordtönen beobachtbar macht.[27]