Die Geometrie von Akkordverwandtschaften

Visualisierungen von Tonsystemen auf Kreisen haben eine lange Tradition: Johann David Heinichen entwarf 1728 auf der Suche nach geeigneten Darstellungsmöglichkeiten für die von Athanasius Kircher in seiner Schrift Musurgia universalis (1650) entwickelten Theorie einen ›Musicalischen Circul‹, der einige Jahre später von Johann Mattheson verbessert wurde: »Verbesserter Musicalischer Circkel, Der bequemer durch Alle Ton-Arten rund führen kann, als die bisher erfundene« (1735). Zahlreiche weitere Quellen aus dem 18. Jahrhundert dokumentieren die Auseinandersetzung von Musiktheoretikern mit Abbildungen von Tonsystemen auf Kreismodellen. Die heutige Musiktheorie verwendet Kreismodelle zur Darstellung von Tonsystemen häufig in Kombination mit modernen geometrischen Methoden, die sich auch für die Analyse der Harmonik im 20. und 21. Jahrhundert eignen (z. B. Coxeter-Gruppen, NRT-Modelle). Der Aufsatz knüpft an dieses Arbeitsfeld an und präsentiert eine geometrische Theorie der Akkordverwandtschaften, die auf dem Konzept des Raums und speziell der Raumerweiterung basiert. Leitfragen sind: Wie hängen diatonische und nicht-diatonische Skalen sowie Akkorde und Akkordverbindungen in einem gemäß der Pitch-Class Set Theory konstruierten Kreismodell zusammen? Welche Möglichkeiten zur Entwicklung eines Abstandsbegriffs für Zusammenklänge eröffnet das Raumkonzept? Welche Klänge sind stabil und warum? Welche Bedeutung haben die geometrischen Kategorien Symmetrie und Kongruenz für die Musik? Welche Konsequenzen ergeben sich für Akkordprogressionen wie beispielsweise Modulationsprozesse? Welchen Erkenntnisgewinn eröffnet die vorgeschlagene Visualisierung von Verwandtschaftsbeziehungen?

Visualisations of tonal systems with circles have a long tradition: Johann David Heinichen proposed the concept of ›Musicalischer Circul‹ in 1728 when seeking suitable representations of Athanasius Kircher’s theory presented in Musurgia universalis (1650). A few years later, Johann Mattheson improved Heinichen’s concept: »Verbesserter Musicalischer Circkel, Der bequemer durch Alle Ton-Arten rund führen kann, als die bisher erfundene« (1735). Several other 18th-century sources provide information on how music theorists considered the issue of mapping tonal systems to circles. Recent approaches frequently combine representations of tonal systems with circles with modern geometric methods that often are suitable for analysing harmony in 20th and 21th century as well (e. g. Coxeter groups, NRT-models). The present paper contributes to this area of research and presents a geometric theory of chord relationships that is based on the concepts of space and spatial extension. The leading questions are: How do diatonic and non-diatonic scales and chords or chord progressions relate in a circular model based on the pitch-class set theory? Is it possible to derive a distance measure for chords from the space concept? Which groups of pitches are stable and why? What implications do the geometric categories of symmetry and congruence have in music? What are the resulting consequences for chord progressions (e. g. modulations)? What are benefits of the suggested visualisation of chord relationships?